В таком слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой И — ширИнкой.
Ну и времечко, все, как один, с застегнутой шири́нкой ходят.
— Джон Стейнбек, К востоку от Эдема
Царевна потчует гостей, каждому подносит пива и смотрит, не утрется ли кто шири́нкой? – тот ее и жених.
— Александр Афанасьев, Заветные русские сказки
На третий день царевна так же стала из своих рук подносить гостям пиво; всех обошла, никто не утерся шири́нкой.
— Александр Афанасьев, Заветные русские сказки
Стало модно ходить с расстегнутой шири́нкой и с вымазанным красной икрой рылом.
— Александр Зиновьев, Зияющие высоты
А Исачко, отгромив приступ да пропев с чернецами «бранному воеводе», усядется себе на стене, свесив ноги к стрельцам, и машет себе, помахивает шитой шири́нкой, выпугивая из-под башенного карниза своего любимого голубя, белого турмана «в штанцах», и любуясь на его удивительные проделки...
— Даниил Мордовцев, Державный плотник